Ce cours a pour objectif de présenter une introduction assez complète au thème extrêmement fécond du transport optimal (aussi dit problème de Monge-Kantorovich) et de developper certaines de ses applications. On commencera par étudier quelques cas particuliers (le cas discret, le cas unidimensionnel) puis on introduira la dualité de Kantorovich et montrerons comment en déduire le théorème de Brenier (existence et unicité d'un transport donné par le gradient d'une fonction convexe), nous évoquerons le lien avec les équations de Monge-Ampère et certaines inégalités fonctionnelles. Nous traiterons également le cas d'un coût de transport donné par une distance et sa formulation de type flot minimal à la Beckmann.

Ce cours fait suite au cours 1. Nous aborderons ici la formulation dynamique (Benamou-Brenier) du transport optimal, ce qui fera un pont naturel avec les méthodes de transport pour les équations d'évolution notamment les flots de gradients dans l'espace de Wasserstein. Nous évoquerons enfin le lien entre transport optimal et dynamique des fluides incompressibles

Le transport optimal (OT) est une théorie mathématique à l'interface entre l'optimisation, les équations aux dérivées partielles et les probabilités. Il est récemment apparu comme un outil important pour traiter une gamme étonnamment large de problèmes applicatifs, tels que la mise en correspondance de formes en imagerie médicale, les problèmes de prédiction structurée en apprentissage supervisé et l'entrainement de réseaux génératifs profonds. Dans ce cours, je ferai un tour d'horizon depuis la description de la théorie mathématique jusqu'aux développements récents des solveurs numériques qui permettent de passer à l'échelle. J'insisterai en particulier sur l’importance des récents progrès obtenus par des approches par régularisation entropique, qui permettent de s’attaquer aux problèmes d’apprentissage en grandes dimensions. Plus d'information sont disponibles en ligne via https://optimaltransport.github.io/

Le but de ces séances étant de présenter et illustrer à l'aide de simulations numériques certains exemples abordés dans le cours avancé "transport optimal computationnel".

L'optimisation, en particulier non-lisse, est omniprésente dans les méthodes moderne de traitement et d'analyse de données (signal, image, graphe, nuage de points, etc.), ainsi qu'en apprentissage statistique. En effet, l'immense majorité des problèmes dans ces domaines d'application se ramènent à l'optimisation d'une fonctionnelle non-lisse mais structurée, possiblement non-convexe, en très grande dimension (voire en dimension infinie). Ce cours fournira les outils nécessaires en analyse et optimisation non-lisses pour résoudre de tels problèmes d'optimisation en tirant parti de leur structure. On décrira à la fois les outils mathématique sous-jacents, les algorithmes, ainsi que leurs garanties théoriques notamment de convergence. On se focalisera en particulier sur les algorithmes dits d'éclatement d'opérateurs. Des séances de travaux pratiques seront consacrés à l'implémentation de ces algorithmes.

Ces séances de travaux pratiques, relatives au cours "Optimisation en traitement des données", seront consacrées à l'implémentation de certains algorithmes, notamment les algorithmes dits d'éclatement d'opérateurs.

We will study different diffusion problems in the workspace of metric random walk spaces, which include particularly discrete weighted graphs, and different aspects related to the operators involved in such problems. For example, we will study a ROF model and the corresponding gradient descent method in metric random walk spaces, which involves the study of the 1-Laplacian in such spaces.

Récemment, l’adaptation et la résolution des

Cette session commencera par

Récemment, l’adaptation et la résolution des EDP portant sur des données fournies par des graphes et des réseaux arbitraires ont suscité un vif intérêt. Afin de traduire et de résoudre les EDP sur des graphes, différents calculs vectoriels discrets ont été proposés dans la littérature ces dernières années. Un calcul discret simple sur des graphes est basé sur des différences partielles discrètes, ce qui permet de résoudre des EDP sur des domaines de données réguliers ou irréguliers d’une manière simple et unifiée. Cette approche mimétique consiste à remplacer les opérateurs différentiels partiels continus, par exemple, les gradients ou les divergences, par un analogue discret raisonnable, ce qui permet de transférer de nombreux outils et résultats importants à partir du réglage continu. Ce cours a pour objectif de proposer une introduction complète aux méthodes numériques de type EDP sur des graphes et leurs applications en traitement de l'image, du signal et des données, et en apprentissage automatique.

Cette session commencera par des séances de TP qui illustrerontle cours introductif sur le traitement de données et graphe, et qui permettront aux étudiants de manipuler et traiter de données pour des exemples simples. Le reste des séances se réfère aux cours avancé ''EDP sur graphes et applications '' et se focalisera sur la manipulation des méthodes de type EDP pour le traitement de quelques exemples concrets en image, signal et données, et en apprentissage automatique.